关于无限

铁蛋 于 14-5-2004 11:15 AM  说 :
试问:

(2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 * ...) / (1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 * ...)

收敛或发散 ?

是收敛至 π/2 。

此公式收录在一位英国人沃利斯（J。WALLIS，1616－1703）出版的“无限的算术”一书里。

微中子

有趣!!!!!
不过,为何呢?

不大清楚。这是一个用来求π的方法。阿基米德将圆看成多变型来算π。阿基米德计算了 6X2^4边型的周长，成功的算到了小数点的第2位。

来到十六世纪一名德国人叫卢多夫的，计算了2^62边型的周长，准确的算到小数点后的35位。进入十七世纪，发现了许多无穷级数和连分数，使π近似值的小数点迅速增加，通过正N边型计算π的方法才不再使用。

而这个沃利斯是最早用解析法研究π的英国人。上述的公式是从二项式定理推导出来的。微中子，这个如何推导出，我就不得而知了，希望可以从你那里的到答案。

现在都利用反正切函数和电脑来算π。在二十世纪末已经算到十亿位以上了，现在就不清楚了。

我再列出一些公式：

莱布尼兹的公式，π/4＝1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-(1/11)+...

欧拉的公式，π^2=12[(1/1^2)-(1/2^2)+(1/3^2)-(1/4^2)+(1/5^2)-...]

flyingfish

右手网友真是pi的专家，
刚找到Wallis formula:
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html

还有一大堆pi的formula:
http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
啊，头大了。。。
在这网站search pi，还有更多。。

微中子

微中子，这个如何推导出，我就不得而知了，希望可以从你那里的到答案。

我不懂啦...迟些如果有空再想想看.

pipi

铁蛋 于 14-5-2004 11:15 AM  说 :
试问:

(2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 * ...) / (1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 * ...)

收敛或发散 ?

这个题目，这样子问:


收敛或发散 ?

会不会比较好？？

不然，也许会被误解。。。

[ Last edited by pipi on 18-5-2004 at 04:38 PM ]

这个呢？

1/log2 + 1/(log2*log3) + 1/(log2*log3*log4) + 1/(log2*log3*log4*log5) + ....  ---> ?

paiseh, 小弟maths 只有SPM的standard，只学过一点点的sequence and series.

当看到这题目，都投降了。。。

铁蛋

同意 Pipi 的写法。

铁蛋

jwyong 于 18-5-2004 04:53 PM  说 :
这个呢？

1/log2 + 1/(log2*log3) + 1/(log2*log3*log4) + 1/(log2*log3*log4*log5) + ....  ---> ?

paiseh, 小弟maths 只有SPM的standard，只学过一点点的sequence and series.

当看到这题目，都投降 ...

这题有点难。。。 但电脑计算得 ～ ４。９３, 奇！

如用analytical的方法leh？

铁蛋

jwyong 于 19-5-2004 02:36 PM  说 :
如用analytical的方法leh？

要想想！

微中子

pipi 于 18-5-2004 04:33 PM  说 :


这个题目，这样子问:


收敛或发散 ?

会不会比较好？？

不然，也许会被误解。。。

[ Last edited by p ...

想不到如何做这题
答案是收敛到pi/2???

到了mathworld看看...
呵呵..竟然用infinite product来代表sine.

[ Last edited by 微中子 on 20-5-2004 at 02:30 PM ]

pipi

pipi 于 18-5-2004 04:33 PM  说 :


这个题目，这样子问:


收敛或发散 ?

会不会比较好？？

不然，也许会被误解。。。

[ Last edited by p ...

微中子 于 20-5-2004 02:14 PM  说 :


想不到如何做这题
答案是收敛到π/2???

到了mathworld看看...
呵呵..竟然用infinite product来代表sine.

[ Last edited by 微中子 on 20-5-2004 at 02:30 PM ]

这题很好玩。。。有趣！！！
理论上它是收敛到π/2， 不过它的＂速度＂很慢。
我用 excel 检查，用完整个colume，它只精确到 4 位小数。

我想到另一个数列，harmonic series， 它是发散的。
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
不过也是发散到很慢。。。
若 S_{n} = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
那么 S_{65536} = 11.66757818
像乌龟一样。。。

pipi

jwyong 于 18-5-2004 04:53 PM  说 :
1/log2 + 1/(log2*log3) + 1/(log2*log3*log4) + 1/(log2*log3*log4*log5) + ....  ---> ?

铁蛋 于 19-5-2004 02:26 PM  说 :


这题有点难。。。 但电脑计算得 ～ ４。９３, 奇！

会是 4.93 吗？？
1/(log2*log3) = 6.962439971 （计算机的答案）
而且 log(x) > 0 for all x>1
答案肯定比 6.962439971 大很多。。。
对吗？？？

1/(log2)+1/(log2*log3)+1/(log2*log3*log4)+.....

用Excel算到答案是３４９。５０５１０５７

但如和证明它收敛？

请问各位高手，如何将它写成SIGMA（SUM） 和（或）PI（PRODUCT）的形式？

铁蛋

pipi 于 21-5-2004 10:41 AM  说 :




会是 4.93 吗？？
1/(log2*log3) = 6.962439971 （计算机的答案）
而且 log(x) > 0 for all x>1
答案肯定比 6.962439971 大很多。。。
对吗？？？

等等， 这是 log_10 吗? 我所了解的是 log_e, 即 ln.

铁蛋

jwyong 于 21-5-2004 02:32 PM  说 :
1/(log2)+1/(log2*log3)+1/(log2*log3*log4)+.....

用Excel算到答案是３４９。５０５１０５７

但如和证明它收敛？

请问各位高手，如何将它写成SIGMA（SUM） 和（或）PI（PRODUCT）的形式？

    sum_(k=2)^infinity{  [1/product_(i=2)^k log(i)]  }

例子：

sum_(k=1)^n (k) = 1 + 2 + ... + n

product_(k=1)^n (k) = 1(2)(3)...(n)

高手不敢当。。。大家互相学习罢了

pipi

jwyong 于 21-5-2004 02:32 PM  说 :
1/(log2)+1/(log2*log3)+1/(log2*log3*log4)+.....

用Excel算到答案是３４９。５０５１０５７

如何将它写成SIGMA（SUM） 和（或）PI（PRODUCT）的形式？

我也算到 349.5051057。。。
它的写法应该是如下吧：


[ Last edited by pipi on 21-5-2004 at 08:55 PM ]